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Modelización por Metodo Montecarlo de un Movimiento Browniano Geometrico

 
SIMULACIÓN MONTECARLO 
Movimiento Browniano Geométrico 
 
El Movimiento Browniano Geométrico es quizás uno de los procesos estocásticos más utilizados en el  campo de las finanzas. Este viene descrito por una ecuación diferencial estocástica del tipo.   
dS(t) = μ(t,S(t))S(t)dt +σ(t,S(t))S(t)dW(t)  
En este caso μ(t, S(t))se conoce como la media de largo plazo del proceso y σ(t, S(t))como la  volatilidad. En el caso más simple podemos hacer estos parámetros constantes, es decir, tener la  ecuación:   
dS(t) = μS(t)dt +σS(t)dW(t)  
Esta ecuación se encuentra en muchos libros de texto para describir el movimiento del precio de algún  activo por ejemplo una acción. Cuando trabajamos en un mundo neutral al riesgo podemos llegar a una  ecuación como la siguiente:  
dS(t) = rS(t)dt +σS(t)dW(t)  
 
 
   
Una manera de modelarlo es discretizar en tramos [t(i+1)- t(i)] = delta 
Dadas las propiedades del MBG es posible simularlo de una manera exacta en los tiempos  t sub 0 ˂ t sub 1 ˂ ….. ˂ t sub n 
 
Por la propiedades el MBG sabemos que la diferencia W(t sub 1 ) - W(t sub 0 ) tiene una distribución normal con media cero y desviación estándar delta 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
 
Supongamos que tenemos un activo que el día t = 0 vale 100. Esto es S(t sub 0) = 100. Adicionalmente supongamos que la tasa de interés es el 10% y la volatilidad es 25%. Si queremos simular la evolución diaria de este activo durante todo un año necesitamos una partición con          t sub i = 0,…365.  
 
 
X en este caso es una variable aleatoria normal (0,1). El 99% de las observaciones de esta variable va a ser un número en el intervalo (-3,3). Así entonces una vez generemos una variable aleatoria normal  (0,1) obtendremos el valor de S(t sub 1). Para generar la evolución del activo entre el día 0 y el día 365  necesitamos generar 365 variables aleatorias. Esto nos permitirá simular un posible camino del activo subyacente. Podemos generar tantos caminos como queramos para tener una idea clara de las  posibilidades de evolución del precio del activo.  
 
 
 
 
 
En el ejemplo se llega: 
 
S(t+1) = S(t)[exp(.000188 + 0.0131X)] 
X es una variable estocástica que sigue un proceso NORMAL (0,1) 
Delta = 1 
Para conseguir números de ese tipo basta utilizar algún generador 
De números pseudoaleatoreos con un ordenador   
En el diagrama siguiente se ve un ejemplo 
 
 
 
 
SRDJAN RADIC DEWAR 
 
MBA - Finance 
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