Introducción Tasas de Interés Estocásticas

Modelos De Tasa de Interés Estocásticas 
 
 
 
Repaso concepto de Numeraire 
El numéraire (o numeraire) es un estándar básico por el cual se calcula el valor. En economía matemática es una entidad económica negociable en términos de cuyo precio se expresan los precios relativos de todos los demás bienes transables. En una economía monetaria, actuar como el numéraire es una de las funciones del dinero, servir como una unidad de cuenta: proporcionar un punto de referencia común en relación con el cual se miden los valores de varios bienes y servicios.  
El uso de un numerario, ya sea monetario o algún bien consumible, facilita las comparaciones de valores cuando solo son relevantes los precios relativos, como en la teoría del equilibrio general. Cuando el análisis económico se refiere a un bien en particular como el numéraire, se dice que todos los demás precios están normalizados por el precio de ese bien. Por ejemplo, si una unidad del bien g tiene el doble del valor de mercado de una unidad del numerario, entonces el precio relativo de g es 2. Dado que el valor de una unidad del numerario en relación con una unidad de sí mismo es 1, el precio del numerario es siempre 1. 
 
Cambio de numéraire  
  
En un mercado financiero con valores negociados, se puede utilizar un cambio de numéraire para valorar los activos. El  teorema fundamental de la fijación de precios de activos dice que todos los activos (digamos S(t)), cotizados en términos del mercado monetario, son martingalas con respecto a la medida neutral al riesgo  
 
 
 
Ahora, suponga que N (t) > 0 es otro activo negociado estrictamente positivo (y por lo tanto una martingala cuando se cotiza en términos del mercado monetario). Entonces, podemos definir una nueva medida de probabilidad  por la derivada Radon-Nikodym 
 
Esta técnica tiene muchas aplicaciones importantes en LIBOR y modelos de mercado de intercambio, así como en los mercados de productos básicos. Jamshidian (1989) lo utilizó por primera vez en el contexto del modelo de Vasicek para las tasas de interés con el fin de calcular los precios de las opciones de bonos. Geman, El Karoui y Rochet (1995) introdujeron el marco formal general para el cambio de técnica numérica. Ver, por ejemplo, Brigo y Mercurio (2001) para un cambio de caja de herramientas numéraire. 
 
 
 
 
 
 
 
Numéraire en precios financieros 
La determinación de un número apropiado se basa en varios modelos de precios financieros, como opciones y ciertos activos. La identificación de un activo de riesgo como numéraire tiene una correlación con el número de activos subyacentes a modelar. 
 
 
 
Medida Forward  
 
En las finanzas, un T medida -Forward es una medida de fijación de precios absolutamente continua con respecto a una medida neutral al riesgo, pero en lugar de utilizar el mercado de dinero como numerario, se  utiliza un BONO  con  madurez  en T. El uso de la medida a plazo fue iniciado por Farshid Jamshidian (1987), y más tarde se utilizó como medio para calcular el precio de las opciones sobre los bonos.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenga en cuenta que esto implica que la medida a plazo y la medida neutral al riesgo coinciden cuando las tasas de interés son deterministas. Además, esta es una forma particular de la fórmula de cambio de numerario al cambiar el numerario del mercado monetario o cuenta bancaria B(t) a un bono de vencimiento  en T P(t,T).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medida neutral al riesgo  
 
 
 
En finanzas matemáticas, una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida de martingala equivalente) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción es exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción según esta medida. Esto se utiliza mucho en la fijación de precios de derivados financieros debido al teorema fundamental de fijación de precios de activos, que implica que en un mercado completo el precio de un derivado es el valor esperado descontado del pago futuro bajo la medida única de riesgo neutral.  Tal medida existe si y solo si el mercado está libre de arbitraje.  
La forma más fácil de recordar cuál es la medida neutral al riesgo, o de explicársela a un generalista de probabilidades que no sepa mucho sobre finanzas, es darse cuenta de que es: 
  1. La medida de probabilidad de una variable aleatoria transformada. Normalmente, esta transformación es la función de utilidad de la recompensa. La medida neutral al riesgo sería la medida correspondiente a una expectativa de pago con una utilidad lineal. 
  2. Una medida de probabilidad implícita, es decir, una implícita de los precios actuales observables / publicados / negociados de los instrumentos relevantes. Relevante significa aquellos instrumentos que están causalmente vinculados a los eventos en el espacio  
de probabilidad bajo consideración (es decir, precios subyacentes más derivados), y 
  1. Es la medida de probabilidad implícita (resuelve una especie de problema inverso) que se define utilizando una utilidad lineal (neutral al riesgo) en el pago, asumiendo algún modelo conocido para el pago. Esto significa que intenta encontrar la medida neutral al riesgo resolviendo la ecuación donde los precios actuales son el valor presente esperado de los pagos futuros bajo la medida neutral al riesgo. El concepto de una medida neutral al riesgo único es más útil cuando uno se imagina haciendo que los precios a través de una serie de derivados que sería hacer una medida neutral al riesgo único ya que implica una especie de consistencia en los hipotéticos precios no comerciales y, en teoría apunta a las oportunidades de arbitraje en mercados donde los precios de compra / venta son visibles. 
 
 
 
 
 
 
También vale la pena señalar que en la mayoría de las aplicaciones de introducción a las finanzas, los pagos en consideración son deterministas dado el conocimiento de los precios en algún momento terminal o futuro. Esto no es estrictamente necesario para hacer uso de estas técnicas. 
 
 
 
Motivar el uso de medidas neutrales al riesgo 
 
Los precios de los activos dependen fundamentalmente de su riesgo, ya que los inversores suelen exigir más beneficios por asumir un mayor riesgo. Por lo tanto, el precio de hoy de un reclamo sobre un monto de riesgo realizado mañana generalmente diferirá de su valor esperado. Por lo general, los inversores son reacios al riesgo y el precio actual está por debajo de lo esperado, lo que remunera a quienes asumen el riesgo (al menos en los grandes mercados financieros; ejemplos de mercados que buscan riesgos son los casinos y las loterías). 
  
En consecuencia, para fijar el precio de los activos, los valores esperados calculados deben ajustarse a las preferencias de riesgo de un inversor (consulte también el índice de Sharpe). Desafortunadamente, las tasas de descuento variarían entre inversores y la preferencia de riesgo de un individuo es difícil de cuantificar. 
 
Resulta que en un mercado completo con no hay oportunidades de arbitraje no es una forma alternativa de hacer este cálculo: En lugar de tomar primero la expectativa y después de ajustar por preferencia de riesgo de un inversor, se puede ajustar, de una vez por todas, las probabilidades de futuro resultados tales que incorporan las primas de riesgo de todos los inversores y luego toman la expectativa bajo esta nueva distribución de probabilidad, la medida neutral al riesgo. El principal beneficio proviene del hecho de que una vez que se encuentran las probabilidades neutrales al riesgo, se puede fijar el precio de cada activo simplemente tomando el valor presente de su pago esperado. Tenga en cuenta que si usáramos las probabilidades reales del mundo real, cada valor requeriría un ajuste diferente (ya que difieren en el riesgo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ausencia de arbitraje es crucial para la existencia de una medida neutral al riesgo. De hecho, según el teorema fundamental del precio de los activos, la condición de no arbitraje es equivalente a la existencia de una medida neutral al riesgo. La integridad del mercado también es importante porque en un mercado incompleto hay una multitud de precios posibles para un activo que corresponden a diferentes medidas neutrales al riesgo. Es habitual argumentar que la eficiencia del mercado implica que hay un solo precio (la "ley del precio único "); la correcta medida neutral al riesgo del precio, que debe seleccionarse utilizando argumentos económicos, en lugar de puramente matemáticos. 
  
Un error común es confundir la distribución de probabilidad construida con la probabilidad del mundo real. Serán diferentes porque en el mundo real, los inversores exigen primas de riesgo, mientras que se puede demostrar que bajo las probabilidades neutrales al riesgo todos los activos tienen la misma tasa de rendimiento esperada, la tasa libre de riesgo (o tasa corta) y, por lo tanto, no incorpore ninguna de esas primas. El método de fijación de precios neutral al riesgo debe considerarse como muchas otras herramientas computacionales útiles, convenientes y poderosas, incluso si parecen artificiales. 
 
 
El origen de la medida neutral al riesgo (valores de Arrow) 
 
Es natural preguntarse cómo surge una medida neutral al riesgo en un mercado libre de arbitraje. De alguna manera, los precios de todos los activos determinarán una medida de probabilidad. Se da una explicación utilizando la seguridad de Arrow. Para simplificar, considere un mundo discreto (incluso finito) con un solo horizonte de tiempo futuro. En otras palabras, existe el presente (tiempo 0) y el futuro (tiempo 1), y en el tiempo 1 el estado del mundo puede ser uno de un número finito de estados. Un valor de Arrow correspondiente al estado n, A sub n, es uno que paga $ 1 en el momento 1 en el estado n N y $ 0 en cualquiera de los demás estados del mundo. 
 
¿Cuál es el precio de A sub n ahora? Debe ser positivo ya que existe la posibilidad de que gane  $ 1; debe ser menos de $ 1 ya que es la máxima recompensa posible. Así, el precio de cada A sub n, que denotamos por A sub n (0), está estrictamente entre 0 y 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
En realidad, la suma de todos los precios de los valores debe ser igual al valor presente de $ 1, porque mantener una cartera que consta de cada valor de Arrow resultará en una recompensa de $ 1. Considere una rifa donde un solo boleto gana un premio de todas las tarifas de inscripción: si el premio es de $ 1, la tarifa de inscripción será 1/ número de boletos. Para simplificar, consideraremos que la tasa de interés es 0, de modo que el valor presente de $ 1 es $ 1. 
 
Por tanto, los A sub n (0) satisfacen los axiomas de una distribución de probabilidad. Cada uno no es negativo y su suma es 1. ¡Esta es la medida neutral al riesgo! Ahora queda por demostrar que funciona como se anuncia, es decir, tomar valores esperados con respecto a esta medida de probabilidad dará el precio correcto en el tiempo 0. 
 
Suponga que tiene un valor C cuyo precio en el momento 0 es C(0). En el futuro, en un estado i, su recompensa será C sub i. Considere una cartera P que consta de C sub i cantidad de cada valor de Arrow A sub i. En el futuro, cualquiera que sea el estado i, entonces A sub i paga $ 1 mientras que los otros valores de Arrow pagan $ 0, por lo que P pagará C sub i. En otras palabras, la cartera P replica el pago de C independientemente de lo que suceda en el futuro. La falta de oportunidades de arbitraje implica que el precio de P y C debe ser el mismo ahora, ya que cualquier diferencia de precio significa que podemos, sin ningún riesgo, vender (corto) lo más caro, comprar lo más barato y embolsar la diferencia. En el futuro, necesitaremos devolver el activo vendido al descubierto, pero podemos financiarlo exactamente vendiendo nuestro activo comprado, dejándonos con nuestra ganancia inicial. 
 
Al considerar cada precio de valor de Arrow como una probabilidad, vemos que el precio de cartera P (0) es el valor esperado de C bajo las probabilidades neutrales al riesgo. Si la tasa de interés R no fuera cero, necesitaríamos descontar el valor esperado de manera  
apropiada para obtener el precio. 
 
Tenga en cuenta que los valores de Arrow en realidad no necesitan negociarse en el mercado. Aquí es donde entra en juego la integridad del mercado. En un mercado completo, cada valor de Arrow se puede replicar utilizando una cartera de activos negociables reales. El argumento anterior todavía funciona considerando cada valor de Arrow como una cartera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un modelo más realista, como el modelo Black-Scholes y sus generalizaciones, nuestra seguridad Arrow sería algo así como una opción digital doble, que paga $1 cuando el activo subyacente se encuentra entre un límite inferior y superior, y $ 0 en caso contrario. El precio de tal opción refleja entonces la visión del mercado de la probabilidad de que el precio spot termine en ese intervalo de precios, ajustado por las primas de riesgo, completamente análogo a cómo obtuvimos las probabilidades anteriores para el mundo discreto de un solo paso. 
 
 
 
 
Otro nombre para la medida neutral al riesgo es la medida de martingala equivalente. Si en un mercado financiero hay solo una medida neutral al riesgo, entonces existe un precio único libre de arbitraje para cada activo en el mercado. Este es el teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje. Si existen más medidas de este tipo, en un intervalo de precios no es posible ningún arbitraje. Si no existe una medida de martingala equivalente, existen oportunidades de arbitraje. 
 
En mercados con costos de transacción, sin numéraire, el proceso consistente de fijación de precios reemplaza a la medida de martingala equivalente. De hecho, existe una relación de 1 a 1 entre un proceso de fijación de precios consistente y una medida de martingala equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 – Modelo binominal de precios de acciones 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 - Modelo de movimiento browniano de precios de acciones 
 
 
 
Supongamos que nuestra economía consta de 2 activos, una acción y un bono sin riesgo, y que usamos el modelo Black-Scholes. En el modelo, la evolución del precio de las acciones puede ser descrita por Geometric Brownian Motion