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Teorema de Bayes: Cuando las verdades no son como creemos que son

4 recomendaciones

Cuando te dicen "hablemos con números" y hablas con un estadistico, crees que los números son realidades.  Y es ese CREER el que te aleja de la realidad.  Con el teorema de Bayes aprendemos que algunas cosas no eran como las pintaron, y luego de adoptar Bayes y acostumbrarnos a su uso, podemos caer en una trampa bayesiana también. 

Podríamos hablar de temas muy técnicos, pero no.  Hablemos de cosas serias y cotidianas como la salud.  ¿Alguna vez te dijeron que estabas enfermo y no lo estabas?  Podría haber hablado de inversiones, pero no, he preferido hacer asequible el tema de los números a los lectores casuales.

En la primera parte voy a tomar el enfoque de hacer matemáticas, pero si no la entiendes, no importa, porque la idea es mostrar la matemática que muchos médicos usualmente no conocen.  Y cuando no hablo de matemáticas hablaré de lo que toda esa matemática significa, y verás que los exámenes médicos son menos fiables de lo que nos dijeron.  Este problema podría aparecer igualmente en la lectura de probabilidades para inversiones, pero prefiero dejarlo en el tema cotidiano del diagnóstico médico.

EL DIAGNOSTICO MÉDICO

En un país cuyo nombre no he de nombrar, al MÉDICO en la universidad y en el gremio de médicos enseñaron que la palabra del médico es "santa palabra" lo que quiere decir que a veces Dios se equivoca pero no el médico en sus diagnósticos.  El médico se lo cree y tú como paciente afligido también.  Pero según el país donde estés, cuando le haces examen de matemática a los médicos puedes ver que muchos no saben nada de matemáticas, no creen que les sirva de nada para curar pacientes, y menos aún saben de teorema de Bayes, porque lo olvidaron o porque nunca supieron usarlo, Vas al médico y te hacen un EXAMEN con una probabilidad de 99% de acertar.  Resulta que 1 de 10.000 personas tiene esa ENFERMEDAD.

Pensarías que si sales positivo en el examen, realmente estás perdido.  Es el fin del mundo con ese 99% es casi verdad suprema que estás enfermo.  Pero veremos matemáticamente que no es así.

Probabilidad de estar ENFERMO = 1 / 10 000 = 0.0001
Probabilidad de estar SANO = 9 999 / 10 000 = 0.9999

Probabilidad de que el examen esté en lo CORRECTO = 99% = 0.99
Probabilidad de que el examen esté EQUIVOCADO = 99% = 0.01

Normalmente la Probabilidad de estar ENFERMO es el dato más dificil de conseguir, y en ciertos casos puede llegar a convertirse en estimación subjetiva.  Es la FRECUENCIA con que ocurre la enfermedad en la POBLACIÓN.

Esencialmente se requiere que ocurran dos eventos:

  1. Evento A: El examen está o no en lo correcto
  2. Evento B: Estas o no enfermo

Cuando se juntan los dos eventos, tenemos una intersección de conjuntos.

FORMULA No 1

Tenemos esta fórmula:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

esta formula en cristiano se lee así:

A ∩ B : Sucede A y B
B|A : Sucede B luego de que ya sucedió A.  A sucede primero, luego B

entonces hablamos de probabilidades de que

Sucede A y B = Sucede A * Sucede B luego de que ya sucedió A

Es decir, hay una secuencia de eventos, primero sucede A, y luego sucede B.

FORMULA No 2

También tenemos esta fórmula:

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)

esta formula en cristiano se lee así:

A ∩ Bc:  Sucede A y NO sucede B (Bc es B complemento, cuando no sucede B)

entonces hablamos de probabilidades de que

A sucede = Sucede B luego de que ya sucedió A + NO sucede B luego de que ya sucedió A

Es decir, sucede A, y luego sucede o no B, y al sumar ambos escenarios obtienes que sucede A.

Si decimos que

B = evento de estar enfermo

A = evento del examen médico

entonces

P(B) = 0.0001
P(Bc) = 0.9999
P(A|B) = 0.99
P(A|Bc) = 0.01

Empezamos a sustituir ecuaciones:

P(B|A) =  P(B ∩ A) / P(A) 
P(B|A) =  P(B ∩ A) / (P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac)) 
P(B|A) =  P(A|B) * P(B) / (P(A|B) * P(B) + P(A|Bc) * P(Bc)) 
P(B|A) =  0.99 * 0.0001 / (0.99 * 0.0001 + 0.01 * 0.9999) 
P(B|A) = 0.000099 / 0.0100979901 
P(B|A) = 0.0098039311803247 

En cristiano esto significa que:

P(B|A) = Probabilidad (Sucede B luego de que ya sucedió A) = 1%
P(B|A) = Probabilidad de estar ENFERMO luego de que hiciste el EXAMEN = 1%

Esto significa que la probabilidad de estar realmente enfermo es 1%. Y así, luego de hacer el examen la certeza de estar enfermo es muy baja aunque la probabilidad del examen sea alta.  Me mirarás con extrañeza y me preguntas ¿qué significa esto?  ¿Cómo sucede esto?

Sabemos que es más fácil caer en el 1% (0.01) de los exámenes con resultado erróneo que caer en el 1 de 10000 (0.0001) que está realmente enfermo. Y si la probabilidad de que un evento como estar enfermo es mucho más pequeña que el margen de error del examen, entonces el examen deja de ser relevante.

Entonces el médico puede tener la santa palabra de su lado, pero no tiene a la ciencia de su lado, porque su examen no es relevante o significativo, y lo peor es que cree estar en lo correcto y tú le crees también.  Pero lo cierto es que podrías estar siendo engañado, no porque exista intención de estafa, sino porque el médico no comprende la herramienta y está haciendo mal su trabajo porque le enseñaron a hacerlo mal, con sus ideologías universitarias e ideologías gremiales de palabra divina de profeta de la medicina.

BAYES DE MANERA SIMPLE

Si te ha resultado muy complicado ir por el camino de las ecuaciones, hagamos las cosas gráficas y fáciles.

Primero tienes el examen y luego ves si estás enfermo. Si multiplicas la probabilidad correspondiente a EXAMEN INCORRECTO por la probabilidad de NO estar ENFERMO (1% x 0.9999), obtienes una probabilidad de 1% por ese camino.  Haces lo mismo para los demás caminos y el total de todos los caminos debe darte 100% de probabilidad.

¿Cuál problema vemos con este diagrama?

  • Sólo hay 0.01% de probabilidad de EXAMEN CORRECTO con persona ENFERMA. Un 0.01% de detectar persona enferma con certeza.
  • Hay un 1% (que es 100 veces más que 0,01%) de EXAMEN INCORRECTO con persona SANA.  100 veces más falsos positivos que detección de enfermos.
  • Ya sea 0.01% o 1%, son números muy bajos. la hipótesis era que el paciente está enfermo, y así la prueba de hipótesis científica se encuentraen problemas con este examen.

¿Hay alguna solución?  Hacer dos veces el examen mejora un poco las cosas.  Los falsos positivos pasan de ser 100 veces más probables que los enfermos correctamente detectados a ser una probabilidad igual de falsos positivos y enfermos detectados.  Se baja la probabilidad de falso positivo.  No es para nada ideal, pero mejora, nos acercamos a detectar la realidad.

Aún así, con dos exámenes las cosas no pintan muy bien para la fiabilidad de ese examen, pues la idea del examen era detectar (se cumple la hipótesis), no descartar.  Y en descartar es donde está el grueso de la probabilidad de 98%, lo que en una prueba diseñada para detectar (no para descartar), en términos científicos significa "se cumple hipótesis nula" o en palabras cotidianas significa "no sabemos si está o no enfermo" o también "la prueba no sirve para nada".

Notas que con dos exámenes mejora la capacidad de acercarnos a la realidad, aunque dudo que alguien quiera hacer muchos exámenes en lugar de usar un examen.

Pero en un caso como este examen médico, la relación entre ruido (hipótesis nula) y señal (detección de enfermos sin falsos positivos) es muy deficiente. No miras a los médicos muy preocupados por esto, lo cual favorece a las iglesias cuando llega un paciente angustiado donde un médico le dijo que tenía un problema que no tenía, y se cumple un milagro cuando se verifica que el problema no existe luego de mucha oración.

LA TRAMPA DE LA CERTIDUMBRE BAYESIANA

El teorema de Bayes se puede usar para filtrar spam y para algoritmos de inteligencia artificial para detectar que perfiles de personas suelen usar cuáles aplicaciones o suelen frecuentar determinadas redes sociales, por ejemplo. Y por eso ves que hay mucha gente hablando de ello en el mundo informático.

Sabemos que conforme haces más y más exámenes, te acercas a describir la realidad al calcular usando Bayes.  Pero hay varios problemas de comprensión y entendimiento, sesgos que pueden surgir al interpretar las cosas.  Si la realidad no cambia, todo perfecto, Bayes sirve para acercarse gradualmente a la realidad, e incluso anticipar un resultado.  Pero mirar un estatismo bayesiano, números que convergen, tiene el problema de que puede inducir a confundir la familiaridad con el riesgo.

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un asteroide en tu ciudad?  Como todos los días usas Bayes para hacer un examen y revisar la probabilidad de asteroides que caen, en tu mente puedes terminar pensando que la probabilidad tiende a cero.   Pero un día cae el asteroide justo sobre tu cabeza y acaba con todo el planeta.  Confundiste la familiaridad con el riesgo.

La certidumbre que da el aplicar múltiples exámenes usando el teorema de Bayes, puede inducir a no estar preparado para el cambio, a pensar en el cambio como imposible y el estatismo como la norma.  Pasamos de un uso numérico a una filosofía existencial bayesiana donde nada cambia.  Y como en el pasado nunca pasó nada, no va a ocurrir en el futuro.  Lo que ignora esa filosofía personal bayesiana para ver el mundo, es que el ser humano es el que mueve los eventos, pues no son resultado de una naturaleza aleatoria o de un mundo estático.

La certidumbre existencial bayesiana induce a seguir haciendo lo mismo, obteniendo el mismo resultado.  Y así la profecía se cumple al no cambiar la realidad porque los números no cambian, y no cambian los núermos porque no hay esfuerzo por cambiar la realidad.  Si nada ha cambiado, ¿será importante experimentar para ver si las cosas cambian al usar Bayes?

Las verdades no son como creemos que son.  Cuando usamos Bayes para ver los diagnósticos médicos, lo comprendemos.  Y también lo vemos cuando confundimos la familiaridad con el riesgo luego de haber adoptado un teorema de Bayes para convertirlo en un mecanismo para obtener sensación de certidumbre y control aparente acerca de la realidad.

¡PELIGRO!

  • No usas Bayes: Las probabilidades no son como te las pintan en el marketing.
  • Usas Bayes extensamente: Puedes confundir la familiaridad con el riesgo

Si manejas tus inversiones con números y caes en la trampa bayesiana, podrías estar en riesgo, y si no conoces de Bayes, también.  Parece que la solución está en el medio, un equilibrio.

  1. #2
    Nega16

    excelente articulo

    Aunque no veo la solución en el medio de no se que

  2. #1
    Fenal

    Excelente.

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